Premessa sulle funzioni inverse, sui logaritmi e su alcune loro proprietà

Il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale. Per capire cosa significa vediamo una similitudine con la radice quadrata che è la funzione inversa dell’elevazione al quadrato.

In generale se applichiamo la funzione inversa ad una funzione otteniamo la variabile semplice.

Rimaniamo nell’esempio della funzione “elevazione al quadrato” f(x) = x² ; la sua funzione inversa risulta f^-1(x) = √x .

Se applichiamo la funzione inversa alla funzione di partenza otteniamo f^-1(f(x)) = √(x²) che, a meno dello studio del campo di esistenza e dello studio del segno corrisponde a y = x (approfondimento in nota(1)).

Il discorso diventa identico e simmetricamente reciproco se invertiamo il ruolo della funzione di partenza e della sua funzione inversa. Se infatti consideriamo f(x) = √x avremo che la sue funzione inversa è f^-1(x) = x² e applicando la funzione inversa alla funzione di partenza otteniamo f^-1(f(x)) = (√x)² che, a meno dello studio del campo di esistenza e dello studio del segno corrisponde a y = x (approfondimento in nota(2)).

Dopo aver compreso il precedente esempio che chiarifica il concetto di funzione inversa, passiamo alla funzione logaritmo.

Il logaritmo espresso con la forma log_ax (chiamiamo a base del logaritmo e x argomento del logaritmo) è una funzione matematica che risponde alla domanda: “quale esponente devo assegnare ad a per ottenere il valore x ? Ad esempio se sciviamo log₂8 stiamo formulando la domanda “quale esponente devo dare a 2 per ottenere 8 ? La risposta sarà “ 3 “ perché 2³ vale 8.

Capiamo così che stiamo parlando della funzione che svolge l’operazione inversa della funzione esponenziale f(x)=a^x.

Abbiamo pertanto:

La funzione esponenziale è definita in tutto R; la funzione logaritmica si applica solo a valori positivi ed ha perciò come campo di esistenza x > 0 .

Se applichiamo la funzione inversa alla funzione di partenza otteniamo:

f^-1(f(x)) = log_a a^x = x

Con nessuna limitazione per il campo di esistenza in quanto la funzione esponenziale si applica in tutto R e resituisce sempre valori positivi, valori che non creano limitazioni al logaritmo.

Possiamo svolgere un ragionamento identico e simmetricamente reciproco invertendo il ruolo della funzione di partenza e della sua funzione inversa.

Ricordiamo che è molto utilizzato il logaritmo in base e, detto logaritmo naturale ed indicato con ln.

Per quanto abbiamo detto sopra la funzione logaritmo naturale è la funzione inversa della funzione esponenziale .

Passiamo a valutare l’espressione fornita nel quiz:

ln(e^x) + e^{ln x} < 4

In questa espressione compare per due volte l’applicazione della funzione inversa alla funzione di partenza. Infatti abbiamo che:

ln(e^x) = x e^{ln x} =x

L’espressione di partenza si riduce perciò a:

x + x < 4

Che sviluppata fornisce:

2x < 4 x < 2

Dobbiamo anche valutare il campo di esistenza che deriva dalle limitazioni presenti in ln x che sono: x > 0 .

Combinando la soluzione x < 2 con il campo di esistenza x > 0 avremo la soluzione:

0 < x < 2

Note:

(¹) Per esattezza la funzione y = √(x²) equivale alla funzione y = |x| in quanto l’elevazione al quadrato rende positivi anche i valori negativi di x e l’estrazione di radice continua a restituire valori positivi.

(²) Per la funzione y = (√x)² dobbiamo considerare il campo di esistenza x≥0 per tener conto delle limitazioni derivanti dall’estrazione di una radice di ordine pari. Perciò equivale a y = x con x≥0