Segue un quiz proposto in una versione variata opportunamente in modo da avere una soluzione
Medicina 2021 - VARIATO
Se x ∈ [0, π), qual è la soluzione della disequazione?

Il quiz, così come era stato formulato non aveva alcuna risposta valida. Abbiamo variato il quiz indicando l'intervallo [0, π) anziché [0, π], ovvero abbiamo escluso il punto x= π nell'intervallo di valutazione della disequazione. Vedremo come questa variazione rende valida una risposta del quiz.
Ricordiamo che le funzioni sen(x) e cos(x) nell'intervallo 0-π assumono i valori come in figura
Osserviamo prima di tutto che la disequazione è strettamente positiva, con il segno di maggiore e non quello di maggiore o uguale. Questo comporta che se l'espressione assume il valore zero per qualche valore di x, allora per tali valori non è soddisfatta.
Studiamo "a pezzi" la funzione proposta dal quiz.
Il primo termine è cos(x)/2 che nell'intervallo [0, π) assume i valori:
–1/2 < cos(x)/2 ≤ +1/2
Ce consideriamo il termine cos(x)/2 + 1/2, questo assume i valori:0 < cos(x)/2 +1/2 ≤ +1
Il secondo termine è 2·sen(x) che nell'intervallo [0, π) assume i valori:
0 ≤ 2·sen(x) ≤ 2
Sommando le due parti cos(x)/2 +1/2 e 2·sen(x) che abbiamo valutato separatamente, possiamo affermare così che sicuramente l'espressione assume valori positivi; ci rimane da valutare se assume anche il valore zero, valore che sarebbe escluso dalla disequazione. Questo potrebbe accadere in uno dei due estremi 0 e π dell'intervallo di definizione della disequazione. l'estremo destro di valore π è stato pero escluso definendo l'intervallo come [0, π). Valutiamo solo l'estremo sinistro con x=0.
cos(0)/2 + 2·sen(0) + 1/2 = +1/2 + 0 +1/2 = 1
valore compatibile con la disequazione
Possiamo così affermare che la soluzione del quiz è la E) che riporta:
«La disequazione è verificata per ogni x appartenente all’intervallo assegnato»
OSSERVAZIONE SULLA VERSIONE UFFICIALE ERRATA DEL QUIZ
Il quiz è stato proposto ai candidati assegnando per i valori di x l'intervallo [0, π] che comprendeva anche l'estremo destro per x=π.
In tale versione bisognava valutare anche il valore x=π e risultava:cos(π)/2 + 2·sen(π) + 1/2 = –1/2 + 0 +1/2 = 0
valore INCOMPATIBILE con la disequazione
La soluzione in tal caso sarebbe dovuta essere tale da ridurre l'intervallo di definizione del solo estremo destro π .
E) 0 ≤ x < π
soluzione che mancava.
NESSUNA RISPOSTA VALIDA